Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Больших чисел закон (математич.)

Больших чисел закон (далее Б), общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Точная формулировка и условия применимости Б (математич.) даются в теории вероятностей. Б (математич.) является одним из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713, см. Бернулли теорема). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении которого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин "закон больших чисел". Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867). В этом современном понимании Б (математич.) утверждает, что при некоторых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое

 

достаточно большого числа n случайных величин Xk с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания

 

Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства Б (математич.), основанный на применении т. н. Чебышева неравенства.

  Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математическое ожидание а, Б (математич.) утверждает, что при любом e > 0 вероятность неравенства |х - а| < e стремится к единице при n ®¥. Порядок отклонений  от а указывается предельными теоремами теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок

 

Соответственно, случайные отклонения суммы

 

от ее математического ожидания na растут как

 

Этот факт (называемый в упрощенных популярных изложениях "законом корня квадратного из n") дает некоторое, хотя и грубое, представление о характере действия Б (математич.)

  Наглядное объяснение смысла и значения Б (математич.) дает следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено молекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку s стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс fk (см. Ударный импульс). Импульс fk является типичной случайной величиной, т.к. состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание а = E (fk) этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля — в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку s). Сумма

 

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке s за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = . Однако в силу Б (математич.) (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число очень велико) в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно — почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку s является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

  Часто приходится применять Б (математич.) и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от ее математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить nк число дефектных изделий в k-й партии, то общее число дефектных изделий равно

 

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытаний из k-й партии, равно k = (10/100) nk, а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

 

В силу Б (математич.) естественно считать, что n/10 ~ 125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 < n < 1500, но уже оценка 1100 < n < 1400 не была бы достаточно надежной, а для оценки 1200 < n < 1300 совсем не имеется серьезных оснований. Получить более точную оценку для n можно, лишь испытав большее число изделий.

  Условие независимости слагаемых в большинстве применений Б (математич.) если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости Б (математич.) к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б (математич.) применим, если между слагаемыми с далекими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха.

  Математическая сторона вопросов, связанных с Б (математич.), освещена также в ст. Предельные теоремы теории вероятностей и Вероятностей теория. В применениях Б (математич.) необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

  Лит.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.— Часть 4 соч. Я. Бернулли..., СПБ, 1913); Poisson .-D., Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités, ., 1837; Чебышев П. Л., О средних величинах, Полн. собр. соч., т. 2, М.—Л., 1947, с. 431—37; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.

  Л. Н. Колмогоров.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 01.07.2022 13:55:47