|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Сферические функции | Сферические функции (далее С) специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С являются решениями дифференциального уравнения
 ,
получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:
 ,
где am — постоянные,  — присоединенные функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством:
 ,
где Рп — Лежандра многочлены.
С можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции
образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e imj} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С:
С степени l
при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:
 (1)
(q–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q–1). Коэффициенты  являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса l группы вращения сферы. Их называют также обобщенными С Обобщенные С применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.
С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С:
 ,
где cos g = cos q cos q` + sinq sinq" cos (j —j`), g — сферическое расстояние точки (q, j) от точки (q", j`).
Характерным примером многочисленных приложений С к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть  — поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С  , сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, q, j), внешней относительно данной сферы, равен
а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен
Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию соответственно степени n - 1 и n.
С были введены А. Лежандром и П. Лапласом в конце 18 в.
Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 31.10.2025 23:46:09
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
