|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Поверхностный интеграл | Поверхностный интеграл (далее П), интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К П приводит, например, задача вычисления массы, распределенной по поверхности с переменной поверхностной плотностью f (M). Для этого разбивают поверхность на части s1, s2,..., sn и выбирают в каждой из них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны f (Mi) si, а масса всей поверхности будет равна  . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части si. Поэтому точное значение массы поверхности есть
 ,
где предел берется при условии, что размеры всех частей si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют П первого рода от функции f (M) по поверхности и обозначают
 .
Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. Кратный интеграл).
В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность , встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берется со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют П второго рода (или П по проекциям) и обозначают
 .
В отличие от П первого рода, знак П второго рода зависит от ориентации поверхности .
М. В. Остроградский установил важную формулу, связывающую П второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по ограниченному ею объему (см. Остроградского формула). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объеме выполняется тождество
 ,
то П второго рода по всем поверхностям, содержащимся в и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции 1, Q1, R1, что
 ,  ,  .
Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.
Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 04.11.2025 10:34:14
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
