Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Логицизм

Логицизм (далее Л), направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о "сводимости математики к логике", т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах "чистой" логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л были выдвинуты еще Г. В. Лейбницем, но в развернутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объемам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена.

  Но еще до выхода в свет 2-го тома работы Фреге "Основные законы арифметики" (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л; он предпринял попытку "исправления" системы Фреге и "спасения" ее от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в ее основание (согласно программе Л) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трехтомный труд "Principia Mathematica" (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде "ступенчатого исчисления", или "теории типов". Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта "иерархия типов" (а в др. модификациях системы РМ — еще дополнительная "иерархия уровней") позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного "мира математики" (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся "аналитическими истинами", или, по Лейбницу, истинами, верными "во всех возможных мирах". Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гедель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).

  Т. о., программа Л "чисто логического" обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. ученых, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.

  Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.

  Ю. А. Гастев.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 08.08.2022 14:07:27