Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Дзета-функция

Дзета-функция (далее Д) 1) аналитическая функция комплексного переменного s = s + it, определяемая при s > 1 формулой

 

Эту функцию для действительных s ввел в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий математик Б. Риман (1859), поэтому ее часто называют дзета-функцией Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Чебышева (1848) и Б. Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Д-ф. и свойствами простых чисел.

  Эйлер вычислил значения x(2s) для любого натурального s. В частности

 

Далее он вывел тождество (тождество Эйлера)

 

где произведение распространяется на все простые числа р = 2, 3, 5,...

  Первостепенное значение для теории простых чисел имеет распределение нулей Д-ф. Известно, что Д-ф. имеет нули в точках s = -2n, где n = 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными) и что все остальные (так называемые нетривиальные) нули Д-ф. находятся в полосе 0 < s < 1, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули Д-ф. расположены на прямой s = 1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные результаты о распределении нулей Д-ф. получены при помощи созданного советским математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитической теории чисел.

  Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Титчмарш Е. К., Д Римана, пер. с англ., М., 1947; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. - Л., 1936; Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. - Л., 1948; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.

  2) В теории эллиптических функций встречается Д-ф. Вейерштрасса

 

где Ã(u) - эллиптическая функция Вейерштрасса. Эту Д-ф. не следует смешивать с Д-ф. Римана.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 25.06.2024 12:54:29