Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Эллиптические функции

Эллиптические функции (далее Э) функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Э применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчетов.

  Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу



  так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода



  где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Э) и w = sn z = sin (am z)синус амплитуды. Функции cnкосинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами





  Функции sn z, cn z, dn z называют Э Якоби. Они связаны соотношением

  sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.

  На рис. представлен вид графиков Э Якоби. Они связаны соотношением

  sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1

  На рис. представлен вид графиков Э Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а



— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4 основной период Э sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Ее второй основной период равен 2iK, где



  и  — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа.

Функции

Периоды

Нули

Полюсы

sn z

4Km + 2iK"n

2mK + 2iK"n

 

}2mK + (2n + 1) iK"

cn z

4 + (2 + 2iK") n

(2m + 1) + 2iK"n

dn z

2Km + 4iK"n

(2m + 1) + (2n + 1) iK


  Э Вейерштрасса Ã(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода



  где параметры g2 и g2 — называются инвариантами Ã(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3g2t — g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э Вейерштрасса Ã(х) связана с Э Якоби следующими соотношениями:

,

,

.

  Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами w1 и w2, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mw1 + пw2) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и , является Э Для построения Э, а также численных расчетов применяют сигма-функции и тэта-функции.

  Изучению Э предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развернутое изложение теории Э, названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э, рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э).

  Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 12.04.2024 13:37:12