|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Двойной ряд | Двойной (далее Д) ряд, выражение вида
u11 + u12 + ... + u1n + ...
+ u21 + u22 + ... + u2n + ...
....................................
+ um1 + um2 + ... + umn + ...
.....................................,
составленное из элементов бесконечной матрицы ||umn|| (m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Д ряд называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Д ряд) и т. д. Для Д ряд принята сокращенная запись
umn называется общим членом Д ряд
Конечные суммы
называются частичными суммами Д ряд Если существует предел
когда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Д ряд и Д ряд называются сходящимся. Теория сходимости Д ряд значительно сложнее соответствующей теории для простых рядов; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Д ряд не вытекает, что его частичные суммы ограничены.
Выражение
называется повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммы
всех внутренних рядов, а затем рассматривается ряд
составленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму , то ее называют суммой Д ряд по строкам. Аналогично определяется сумма " Д ряд по столбцам. Из сходимости Д ряд не вытекает, что сходятся внутренние Ряды
так что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д ряд расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и ¹ ". Однако, если Д ряд сходится и имеет сумму и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна . Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Д ряд
Наиболее важными классами Д ряд являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Д ряд Фурье
одним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммы
где суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n), для которых m2 + n2 < , и рассматривается предел  этот предел называется сферической суммой Д ряд Фурье (2). Многие важные функции изображаются с помощью Д ряд, например эллиптическая функция Вейерштрасса.
Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение вида
m, n, :, pumn : q,
составленное из членов таблицы ||umn...p||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m, n, ..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Д ряд
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.
С. Б. Стечкин.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
