|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Симметрия (в математике) | Симметрия (далее С) (от греч. symmetria - соразмерность) в математике,
1) симметрия (в узком смысле), или отражение (зеркальное) относительно плоскости a в пространстве (относительно прямой а на плоскости), - преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка М переходит в точку M" такую, что отрезок MM" перпендикулярен плоскости a (прямой а) и делится ею пополам. Плоскость a (прямая а) называется плоскостью (осью) С (в математике)
Отражение - пример ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании С (в математике) геометрических фигур.
2) С (в широком смысле) - свойство геометрической фигуры Ф, характеризующее некоторую правильность формы Ф, неизменность ее при действии движений и отражений. Точнее, фигура Ф обладает С (в математике) (симметрична), если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой, называемой группой симметрии этой фигуры (иногда сами эти преобразования называются симметриями).
Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси С (в математике) (рис. 1); здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура Ф на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/n, n - целое число ³ 2, переводят ее в себя, то Ф обладает С (в математике) n-го порядка относительно точки О - центра С (в математике) Примером таких фигур являются правильные многоугольники (рис. 2); группа С (в математике) здесь - т. н. циклическая группа n-го порядка. Окружность обладает С (в математике) бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).
Простейшими видами пространственной С (в математике), помимо С (в математике), порожденной отражениями, являются центральная С (в математике), осевая С (в математике) и С (в математике) переноса.
а) В случае центральной симметрии (инверсии) относительно точки О фигура Ф совмещается сама с собой после последовательных отражений от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, другими словами, точка О - середина отрезка, соединяющего симметричные точки Ф (рис. 3). б) В случае осевой симметрии, или С (в математике) относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси С (в математике)) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую AB осью С (в математике) третьего порядка, а прямую CD - осью С (в математике) четвертого порядка (рис. 3); вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей С (в математике) играют важную роль в (см. С кристаллов), в) Фигура, накладывающаяся на себя последовательным вращением на угол 360°/2k вокруг прямой AB и отражением в плоскости, перпендикулярной к ней, имеет зеркально-осевую С (в математике) Прямая AB, называется зеркально-поворотной осью С (в математике) порядка 2k, является осью С (в математике) порядка k (рис. 4). Зеркально-осевая С (в математике) порядка 2 равносильна центральной С (в математике) г) В случае симметрии переноса фигура накладывается на себя переносом вдоль некоторой прямой (оси переноса) на какой-либо отрезок. Например, фигура с единственной осью переноса обладает бесконечным множеством плоскостей С (в математике) (поскольку любой перенос можно осуществить двумя последовательными отражениями от плоскостей, перпендикулярных оси переноса) (рис. 5). Фигуры, имеющие несколько осей переноса, играют важную роль при исследовании кристаллических решеток.
В искусстве С (в математике) получила распространение как один из видов гармоничной композиции. Она свойственна произведениям архитектуры (являясь непременным качеством если не всего сооружения в целом, то его частей и деталей - плана, фасада, колонн, капителей и т. д.) и декоративно-прикладного искусства. С (в математике) используется также в качестве основного приема построения бордюров и орнаментов (плоских фигур, обладающих соответственно одной или несколькими С (в математике) переноса в сочетании с отражениями) (рис. 6, 7).
Комбинации С (в математике), порожденные отражениями и вращениями (исчерпывающие все виды С (в математике) геометрических фигур), а также переносами, представляют интерес и являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая С (в математике), осуществляемая поворотом на некоторый угол вокруг оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений (рис. 8) (подробнее см. в ст. С в биологии). С (в математике) конфигурации молекул, сказывающаяся на их физических и характеристиках, имеет значение при теоретическом анализе строения соединений, их свойств и поведения в различных реакциях (см. С в химии). Наконец, в физических науках вообще, помимо уже указанной геометрической С (в математике) и решеток, приобретают важное значение представления о С (в математике) в общем смысле (см. ниже). Так, симметричность физического пространства-времени, выражающаяся в его однородности и изотропности (см. Относительности теория), позволяет установить т. н. сохранения законы; обобщенная С (в математике) играет существенную роль в образовании спектров и в классификации элементарных частиц (см. С в физике).
3) С (в общем смысле) означает инвариантность структуры математического (или физического) объекта относительно его преобразований. Например, С (в математике) законов теории относительности определяется инвариантностью их относительно Лоренца преобразований. Определение совокупности преобразований, оставляющих без изменения все структурные соотношения объекта, т. е. определение группы G его автоморфизмов, стало руководящим принципом современной математики и физики, позволяющим глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта в целом и его частей.
Поскольку такой объект можно представить элементами некоторого пространства Р, наделенного соответствующей характерной для него структурой, постольку преобразования объекта являются преобразованиями Р. Т. о. получается представление группы G в группе преобразований Р (или просто в Р), а исследование С (в математике) объекта сводится к исследованию действия G на Р и отысканию инвариантов этого действия. Точно так же С (в математике) физических законов, управляющих исследуемым объектом и обычно описывающихся уравнениями, которым удовлетворяют элементы пространства Р, определяется действием G на такие уравнения.
Так, например, если некоторое уравнение линейно на линейном же пространстве Р и остается инвариантным при преобразованиях некоторой группы G, то каждому элементу g из G соответствует линейное преобразование Tg в линейном пространстве R решений этого уравнения. Соответствие g ® Tg является линейным представлением G и знание всех таких ее представлений позволяет устанавливать различные свойства решений, а также помогает находить во многих случаях (из "соображений симметрии") и сами решения. Этим, в частности, объясняется необходимость для математики и физики развитой теории линейных представлений групп. Конкретные примеры см. в ст. С в физике.
Лит.: Шубников А. В., С. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. - Л., 1940; Кокстер Г. С (в математике) М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 1966; Вейль Г., С, пер. с англ., М., 1968; Вигнер Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971.
М. И. Войцеховский.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
