|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Показательная функция | Показательная функция (далее П), экспоненциальная функция, важная элементарная функция
f (z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П определяется соотношением
 ;
Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение П равно е - основанию натуральных логарифмов. П обладает следующими основными свойствами:
 и 
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) П ex > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:
 ,  ,
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П, является логарифмическая функция: если w = ez, то z = lnw.
Рассматривается также П az при основаниях а > 0, отличных от е (например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П 2x, (1/2) x и т.д.). П az связана с П ez (основной) соотношением
az = ezlna.
П ex является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
 , (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
ez = ex+iy = ex (cosy + isiny), (2)
связывающую П с тригонометрическими функциями. Из нее вытекают соотношения:
 ,  .
Функции
 ch y,  = sh y
называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что П (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть ez+2pi = ez или e2pi = 1. Производная П равна самой функции: (ez)" = ez.
Указанными свойствами П определяются ее многочисленные приложения. В частности, П выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П комплексного переменного наряду с другими ее свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 31.10.2025 15:37:28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
