|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Исчерпывания метод | Исчерпывания метод (далее И) метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Название "метод исчерпывания" введено в 17 в.
Типичная схема доказательства при помощи И может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин 1, 2, ..., n, ... так, что
n < A; (1)
предполагают также известным такое В, что
n < В (2)
и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства
К (A - n) < D, К (В - n) < D, (3)
где D - постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству
А = В (4)
достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует
Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса - Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = - А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали
К (В - n) > К (В - A) > D,
что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).
Введение И вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием - Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади 1, 2, ..., "исчерпывающие" при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом
Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,
Архимед геометрически доказывает, что при любом n
Вводя площадь
Архимед получает, что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
