|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Математическая картография | Математическая картография (далее М), картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций, преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М включают весь комплекс вопросов, относящихся к математическому обоснованию карт (компоновка карт, расчет рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия). М тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографическими и другими дисциплинами. На первых этапах (6 век до н. э. — 17 век н. э.) развития М изобретались, исследовались и использовались отдельные картографические проекции, затем (18 век — начало 20 века) изучались также отдельные классы проекций и другие совокупности их. С середины 20 века успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы современной М механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.
В М различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М — исследование свойств картографических проекций, заданных уравнениями вида
x = f1(j, l), y = f2(j, l), (1)
где (j и l — широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задача М имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе исторического развития М использовались различные методы построения проекций: геометрические, аналитические, графоаналитические и другие, применимые, однако, к получению отдельных проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М, следует из системы Эйлера — Урмаева
 (2)
где m и n — масштабы по меридианам и параллелям, e — угол между их изображениями, g — сближение меридианов. Это — система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (например,  и т. п.). Она недоопределенная: уравнений — два, функций — четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) дает необходимые и достаточные условия существования проекции с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и некоторые их модификации относят к основным уравнениям М При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.
Система (2) приводит к генетической классификации картографических проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В ее основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, которая (после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках) описывается определенной системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; например, класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и другие. Системы классов проекций могут быть эллиптических, гиперболических и других типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании некоторых свойств новых проекций. Таким образом, М — это своеобразный "арсенал" картографической науки и картографического производства, в специальных "рубриках" которого находятся определенные классы и другие совокупности картографических проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).
Одной из центральных проблем М является задача построения наивыгоднейших картографических проекций, то есть проекций, в которых искажения в каком-либо смысле сведены к минимуму. Она полностью еще не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями этой задачи занимались многие известные ученые (Л. Эйлер, К. Гаусс, П. Л. Чебышев и другие). Проблема ставится двояко: для заданной области изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества проекций (идеальные проекции), либо из определенного класса (наилучшие проекции класса). В обоих случаях задача с математической точки зрения обращается в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют различные постановки: обращаясь, например, к теории наилучших приближений, говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографических проекций приводит к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и других. До конца исследован лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева — Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области является та, крайняя изокола в которой совпадает с контуром изображаемой территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезических линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого (но и важного для практики) среди всех других классов. Примером чебышевской проекции является стереографическая проекция, которая при изображении на плоскости сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева — Граве справедлива для ряда некоторых других классов проекций, неконформных, но эллиптического типа.
Лит.: Соловьев М. Д., М, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии, "Труды Новосибирского института инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии", 1967, т. 20; Каврайский В. В., Современные задачи математической картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных карт, "Геодезия и картография", 1958, № 12; Павлов А. А., М, в сборнике: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972, с. 53—66.
Г. А. Мещеряков. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
