Большая Советская Энциклопедия.

Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Факторный анализ

Факторный анализ (далее Ф) раздел статистического анализа многомерного,. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин – результатов наблюдений X1,..., Xn общей моделью Ф служит следующая линейная модель:

   (*),

,

  где случайные величины fj суть общие факторы, случайные величины i суть факторы, специфические для величин Xi и не коррелированные с fj, а ei; суть случайные ошибки. Предполагается, что k < n задано, случайные величины ei независимы между собой и с величинами fj и i и имеют Еei = 0, Dei = s2i. Постоянные коэффициенты aij называются факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной на j-й фактор). Значения aij, bi, и s2i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф отличается некоторой неопределенностью, т.к. n переменных выражаются здесь через n + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, которую можно проверить. Например, если факторы fj некоррелированы и cijэлементы матрицы ковариаций между величинами Xi, то из уравнений (*) следует выражение для cij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

  , .

  Т. о., общая модель Ф равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {aij} и диагональной матрицы L с 2 элементами s2i.

  Процедура оценивания в Ф состоит из двух этапов: оценки факторной структуры – числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами Xi, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т.к. в уравнении (*) факторы fj могут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, которое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что Xi,..., Xn подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {сij}. Выделяется максимального правдоподобия метод, который приводит к единственным оценкам для cij, но для оценок aij дает уравнения, которым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

  Ф возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире – Ф находит применение при решении различных практических задач в медицине, экономике, химии и т.д. Однако многие результаты и методы Ф пока еще не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание современного Ф – задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решенная.

 

  Лит.: Лоул и Д., Максвелл А., Ф как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Харман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

  А. В. Прохоров.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 17.06.2019 09:36:28

09:17 Уехавшие на Украину крымчане захотели российское гражданство
09:09 Стало известно о модернизации ядерного оружия в мире
08:57 Мужчина бросил возлюбленную и остался без языка
08:43 В США произошла стрельба на выпускном
08:15 Недостаточно бедных россиян захотели лишить господдержки
08:07 В сети перечислили самые странные семейные обычаи
08:01 Названы лучшие свиные стейки
07:54 Стадион чемпионата мира в России затопило
04:52 Саакашвили рассказал об отношении Порошенко к алкоголю