|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Степенная функция | Степенная функция (далее С) функция f (x) = ха, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения С xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечетным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а четный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определенного смысла не имеет. С (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с четным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причем ее значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С Для х > 0 С — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. С непрерывна и дифференцируема во всех точках ее области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (xa)" = axa-1. Далее,
 , при a ¹ -1;
в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.
Функции вида у = cxa, где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и ее приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cxa (см. рис. 3); например, у = cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).
В комплексной области С za определяется для всех z ¹ 0 формулой:
 , (*)
где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С za однозначна:
 .
Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С za принимает q различных значений:
где ek =  — корни степени q из единицы:  и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С za — бесконечнозначна: множитель ea2kpi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С za определяется той же формулой (*). Например,
так что, в частности,  , где k = 0, ± 1, ± 2,....
Под главным значением (za)0 С. ф. понимается ее значение при k = 0, если —p< argz £ p (или 0 £ argz < 2p). Так, (za)= |za|eia arg z, (i)0=e -p/2 и т.д.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
