Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Статистическое моделирование

Статистическое моделирование (далее С) численный метод решения математических задач, при котором искомые величины представляют вероятностными характеристиками какого-либо случайного явления, это явление моделируется, после чего нужные характеристики приближенно определяют путем статистической обработки "наблюдений" модели. Например, требуется рассчитать потоки тепла в нагреваемой тонкой металлической пластине, на краях которой поддерживается нулевая температура. Распределение тепла описывается тем же уравнением, что и расплывание пятна краски в слое жидкости (см. Теплопроводность, Диффузия). Поэтому моделируют плоское броуновское движение частиц "краски" по пластине, следя за их положениями в моменты kt, k = 0, 1, 2,... Приближенно принимают, что за малый интервал t частица перемещается на шаг h равновероятно во всех направлениях. Каждый раз направление выбирается случайным образом, независимо от всего предыдущего. Соотношение между t и h определяется коэффициентом теплопроводности. Движение начинается в источнике тепла и кончается при первом достижении края (наблюдается налипание "краски" на край). Поток Q () тепла через участок С границы измеряется количеством налипшей краски. При общем количестве частиц согласно больших чисел закону такая оценка дает случайную относительную ошибку порядка  (и систематическую ошибку порядка h из-за дискретности выбранной модели).

  Искомую величину представляют математическим ожиданием числовой функции f от случайного исхода w явления: , т. е. интегралом по вероятностной мере Р (см. Мера множества). На оценку , где w1,..., w -смоделированные исходы, можно смотреть как на квадратурную формулу для указанного интеграла со случайными узлами wk и случайной погрешностью R обычно принимают , считая большую погрешность пренебрежимо маловероятной; дисперсия Df может быть оценена в ходе наблюдений (см. Ошибок теория).

  В разобранном выше примере f (w)= 1, когда траектория кончается на С; иначе f (w) = 0. Дисперсия . Интеграл берется по пространству ломаных со звеньями постоянной длины; он может быть выражен через кратные интегралы.

  Проведение каждого "эксперимента" распадается на две части: "розыгрыш" случайного исхода w и последующее вычисление функции f (w). Когда пространство всех исходов и вероятностная мера Р слишком сложны, розыгрыш проводится последовательно в несколько этапов (см. пример). Случайный выбор на каждом этапе проводится с помощью случайных чисел, например генерируемых каким-либо физическим датчиком; употребительна также их арифметическая имитация - псевдослучайные числа (см. Случайные и псевдослучайные числа). Аналогичные процедуры случайного выбора используются в математической статистике и теории игр.

  С широко применяется для решения на ЭВМ интегральных уравнений, например при исследовании больших систем. Они удобны своей универсальностью, как правило, не требуют большого объема памяти. Недостаток - большие случайные погрешности, слишком медленно убывающие при увеличении числа экспериментов. Поэтому разработаны приемы преобразования моделей, позволяющие понижать разброс наблюдаемых величин и объем модельного эксперимента.

  Лит.: Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло), М., 1962; Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и смежные вопросы, М., 1971.

  Н. Н. Ченцов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 29.05.2024 20:51:10