Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Симметрия кристаллов

Симметрия свойство (далее С) совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) определяется симметрией его строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств
  На рис. 1, а изображен кварца. Внешняя его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещен сам с собой (совместимое равенство). метасиликата (рис. 1, б) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Т. о., симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой. Если (x1, x2, x3) — функция, описывающая объект, например форму в трехмерном пространстве или какое-либо его свойство, а операция g (x1, x2, x3) осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, а — симметричным объектом, если выполняются условия:

g (x1,. x2, x3) =      (1, a)

(x1, x2, x3) = (x2, x2, x3).     (1, б)

  В наиболее общей формулировке симметрия — неизменность (инвариантность) объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. — объекты в трехмерном пространстве, поэтому классическая теория Симметрия — теория симметрических преобразований в себя трехмерного пространства с учетом того, что внутренняя структура — трехмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решетка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жесткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

  Симметрия проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трехмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов в импульсном пространстве (см. Твердое тело), при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в с помощью пространства обратных длин и т. п.

  Группа симметрии может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кварца (рис. 1, а) совмещается с собой нс только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция g1), ной при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция g2), а также при поворотах на 180° вокруг осей 2x, 2y, 2w (операции g3, g4 и g5). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрический образ — элемент симметрии — прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2x, 2y, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1, б) — плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии (g1,..., gn) данного образует группу симметрии G в смысле математической теории групп. Последовательное проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g0, ничего не изменяющая в называется отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, называется порядком группы.

  Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в которых они определены; по числу т измерений пространства, в которых объект периодичен (их соответственно обозначают Gmn) и по некоторым другим признакам. Для описания используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии G33, описывающие структуру и точечные группы симметрии G03, описывающие их внешнюю форму. Последние называются также классами.

  Симметрия огранки Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка на 360°/ (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 2, б), инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2, в), инверсионные повороты  (комбинация поворота на 360°/ с одновременной инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты . Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (рис. 3), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остается неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

  Точечные преобразования симметрии g (x1, x2, x3) =  описываются линейными уравнениями:

x"1 = а11х1 + a12x2 + a13x3,

x"2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,     (2)

x"3 = a31x1 + a32x2 + a33x3,

т. е. матрицей коэффициента (aij). Например, при повороте вокруг хз на угол a = 360°/ матрица коэффициентов имеет вид:

,     (3)

а при отражении в плоскости x1, x2 имеет вид:

     (3a)

Поскольку может быть любым, число групп  бесконечно. Однако в ввиду наличия решетки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси:  (она же центр симметрии),  = m (она же плоскость симметрии), . Поэтому количество точечных групп, описывающих внешнюю форму ограничено. Эти 32 группы Симметрия приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний кристаллографических — триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).

  Группы, содержащие лишь повороты, описывают состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. описываемые группами 1-го рода, могут в двух энантиоморфных формах, условно называемых "правой" и "левой", каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм, Кварц).

  Точечные группы описывают симметрию не только но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов (рис. 4), в оболочках которых соблюдаются принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

  Симметрия физических свойств. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства (рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств (векторной или тензорной) имеет определенную точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения Она либо совпадает с ней, либо выше ее по симметрии (принцип Неймана).

  Многие из свойств принадлежащих к определенным классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств Зная группу Симметрия можно указать возможность наличия или отсутствия в нем некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии<

Сингония

Обозначения
Название
Соотношение констант эле-
ментарной ячейки

международные

по Шенфлису

Триклинная



С1

Моноэдрическая

а ¹ b ¹ с



С1

Пинакоидальная

a ¹  b ¹  g ¹ 90°

Моноклинная

2

С2

Диэдрическая осевая

а ¹ b ¹ с

m



Диэдрическая безосная

a =  g = 90°

2/m

2h

Призматическая

 b ¹ 90°

Ромбическая

222

D2

Ромбо-тетраэдрическая

а ¹ b ¹ с

mm

2u

Ромбо-пирамидальная



mmm

D2h

Ромбо-дипирамидальная

a = b = g = 90°

Тетрагональная

4

4

Тетрагонально-пирамидальная

а = b ¹ с

a = b = g = 90°

422

D4

Тетрагонально-трапецоэдрическая

4/m

4h

Тетрагонально-дипирамидальная

4mm

4u

Дитетрагонально-пирамидальная

4/mmm

D4h

Дитетрагонально-дипирамидальная



4

Тетрагонально-тетраэдрическая



D2d

Тетрагонально-скаленоэдрическая

Тригональная

3

3

Тригонально-пирамидальная

а = b = с

a = b = g ¹ 90°

32

D3

Тригонально-трапецоэдрическая

3m

3u

Дитригонально-пирамидальная



3i

Ромбоэдрическая



D3d

Дитригонально-скаленоэдрическая



3h

Тригонально-дипирамидальная

Гексагональная



D3h

Дитригонально-дипирамидальная

а = b ¹ с

a = b = 90°

 g = 120°

6

6

Гексагонально-пирамидальная

62

D6

Гексагонально-трапецоэдрическая

6/m

6h

Гексагонально-дипирамидальная

6mm

6u

Дигексагонально-пирамидальная

6/mmm

D6h

Дигексагонально-дипирамидальная

Кубическая

23

T

Тритетраэдрическая

а = b = с

a = b = g = 90°

m3

Th

Дидодекаэдрическая



Td

Гексатетраэдрическая

43



Триоктаэдрическая

m3m

Oh

Гексоктаэдрическая

  Пространственная симметрия структуры ( решетки) описывается пространственными группами симметрии . Характерными для решетки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, называемых трансляциями, которые задают трехмерную периодичность структуры Сдвиг (перенос) структуры на векторы a1, b2, c3 или любой вектор t = p1a1 + p2b2 + p3c3, где p1, p2, p3 — любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (1, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и c, называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой (рис. 7, а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка "размножение" которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует решетку. Элементарная ячейка и размещение в ней устанавливается методами рентгеновского структурного анализа, электронографии или нейтронографии.

  Вследствие возможности комбинирования в решетке трансляций и операций точечной симметрии в группах G33 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой — винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 2, д).

  Всего известно 230 пространственных (федоровских) групп симметрии , и любой относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп  макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе mmm или D2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть ее трансляционная подгруппа, или Браве решетка; таких решеток существует 14.

  Симметрия слоев и цепей. Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры могут быть использованы группы  — двумерно периодические и  — одномерно периодические в трехмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологических структур и молекул. Например, группы  описывают строение биологических мембран, группы  — цепных молекул (рис. 8, а) палочкообразных вирусов, трубчатых глобулярных белков (рис. 8, б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах .

  Обобщенная симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1, б) при преобразовании (1, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нем моментов (рис. 9), то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трем пространственным переменным x1, x2, x3 вводится добавочная, 4-я переменная x4 = ± 1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1, а) функция может быть не только равна себе, как в (1, б), но и изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета (рис. 10). Существует 58 групп точечной антисимметрии  и 1651 пространственная группа антисимметрии  (шубниковских групп). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а несколько (возможны числа 3, 4, 6, 8,..., 48), то возникает "цветная" симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G03, ц. Основные приложения обобщенной симметрии в — описание структур.

  Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 11), криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных твердых растворов, жидких кристаллов, и др.

  Лит.: Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Федоров Е. С.. Симметрия и структура (М.), 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951.

  Б. К. Вайнштейн.

Рис. 5. Поверхность, описывающая оптическую активность кристалла кварца; знаки (+) и (-) указывают противоположные направления вращения плоскости поляризации.
Рис. 5. Поверхность, описывающая оптическую активность кристалла кварца; знаки (+) и (-) указывают противоположные направления вращения плоскости поляризации.



Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 13.12.2024 22:01:57