Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Ритца и Галеркина методы

Ритца и Галеркина методы (далее Р)широко распространенные прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).

  Метод Ритца применяется большей частью для приближенного решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал (y (x)) (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у (х), принимающую в точках x0 и xi заданные значения a = у (х0) и b = у (х1), на которой функционал (y (x)) будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала (y (x)) рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у (х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида



с постоянными коэффициентами ai, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы j1(x), j2(х),..., jп (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций j1(х) является требование, чтобы функции уп (х) удовлетворяли условиям уп (хо) = a и yn (x1) = a для всех значений параметров a1. При таком выборе функций уп (х) функционал (y (x)) превращается в функцию Ф (а1, a2,..., an) коэффициентов ai, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

 .

  Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла



при условии y (0) = y (1) = 0. В качестве функций ji (x) можно взять xi (1 — х), тогда

.

  Если n = 2, то . Для определения коэффициентов a1 и a2 получаем после вычислений два уравнения

;

.

  Решением этих уравнений являются числа a1 = 71/369 и a2 = 7/41. Следовательно, . Полученное приближенное решение отличается от точного на величину порядка 0,001.

  Найденное этим методом приближенное решение уп (х) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций ji (x), стремится к точному решению у (х), когда n ® ¥.

  Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).

  Метод Галеркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближенного решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галеркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения

L (u) = 0     (1)

(L некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе области D однородным краевым условиям:

u = 0.     (2)

  Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L (u) тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции в области D. Приближенное решение уравнения (1) ищут в виде

,     (3)

где yi (x, y) (i = 1, 2,..., n) линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y1(x, у), y2(х, у),..., yп (х, у),..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты ai выбирают так, чтобы функция L (un) была ортогональна в D первым n функциям системы yi (x, y):

     (4)

.

  Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона



при условии u = 0 на . Выбирая систему функций yi (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:



.

  Функции yi (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w(x, y) — непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w(x, y) > 0 внутри D, w(x, y) = 0 на . Тогда в качестве системы функций yi (x, y) можно взять систему, составленную из произведений w(x, y) на различные степени х и y: , , , , … Например, если границей области D является окружность радиуса R с центром в начале координат, то можно положить w(x, y) = R2 — x2 — y2.

  Метод Галеркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка дается в терминах функционального анализа для решения уравнений вида — f = 0, где А — линейный оператор, определенный на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве , u — искомый и f — заданный элементы пространства .

  Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галеркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова — Галеркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).

  Лит.: Галеркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, "Вестник инженеров", 1915, т. 1, № 19, с. 897—908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. — Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962; Ritz ., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, "Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten", Göttingen, 1908; его же, Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.

  В. Г. Карманов.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 29.03.2024 02:30:22