Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Ортогональная система функций

Ортогональная система функций (далее О) система функций {(jn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом r (х) на отрезке (а, b), т. е. таких, что



  Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - О с весом 1 на отрезке (-p, p). Бесселя функции , где n = 1, 2,...,  - положительные нули Jn(x), образуют для каждого n > - 1/2 О с весом х на отрезке (0, l ).

  Если каждая функция j (х) из О такова, что  (условие нормированности), то такая система функций называется нормированной. Любую О можно нормировать, умножив j (х) на число  - нормирующий множитель.

  Систематическое изучение О было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма - Лиувилля задачи для уравнения (r(х) у" )" + q (x) y = lу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy"(a) = 0, y (b) + Hy" (b) = 0, где h и Н - постоянные. Эти решения - т. н. собственные функции задачи - образуют О с весом r (х) на отрезке (a, b ).

  Чрезвычайно важный класс О - ортогональные многочлены - был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О- задача о разложении функции f (x) в ряд вида , где {jп (х)} - О Если положить формально , где {jп (х)} - нормированная О, и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на jп (х) r(х) и интегрируя от а до b, получим:

 (*)

Коэффициенты Сп , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {jn (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма  наилучшим образом приближает в среднем эту функцию. Иными словами, средняя квадратичная ошибка с весом r(х):

   (*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида . Отсюда, в частности, получается т. н. неравенство Бесселя



  Ряд  с коэффициентами Сп , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О {jn (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О, для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций jk (x), то есть  в этом случае говорят, что ряд  сходится в среднем к функции f (x)). 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса r(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова - Стеклова:



3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке (a, b ) квадратом, ортогональной ко всем функциям jn (x), n = 1, 2,....

  Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства, то нормированные О будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О - разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова - Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.

  Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. - Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 28.09.2022 21:22:05