Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Непротиворечивость

Непротиворечивость (далее Н) совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством которых теория задается), состоящее в том, что из нее нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и Ø А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & Ø А É В ("из противоречия следует любое утверждение"), Н равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.

  Н, необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой "содержательной ситуации", отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей "классических" направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории) Н служит если и не обоснованием "существования" описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией "ситуация" лежит вне самой теории, данное выше понятие Н, которое можно назвать "внутренней" (иначе -синтаксической, или логической) Н, тесно связано с так называемой "внешней" (семантической) Н, заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею "действительности". Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н равносильны лишь для таких "бедных" логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией "действительности" может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н исходной теории можно понимать как ее относительную Н, а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается для нее доказательством относительной Н

  В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счете множеств теория. Однако обнаружение в теории множеств парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н, - в некотором смысле "абсолютных". (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н только для аксиоматической теории множеств (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого ее фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный "универсум" (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации, а полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет их синтаксической Н так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гедель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н и полноты оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н по-прежнему остается важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.

  Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.

  Ю. А. Гастев.

 


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 20.01.2022 22:42:10
22:26 Россия назвала НАТО инструментом прошлого века
22:24 Новый пакет санкций США против России назвали отголоском гибридной войны
22:22 США обсудили помощь Украине с «Бухарестской девяткой»
22:14 Владелец дома на месте убийств секты Мэнсона захотел избавиться от жилья
22:13 Россия и Китай заблокировали санкции против пяти лиц за связи с Северной Кореей
22:06 Пеле потребовалась химиотерапия
21:59 Европейская страна ввела обязательную вакцинацию от коронавируса
21:56 Москву накроет двухдневный снегопад
21:51 В России заявили о самостоятельной изоляции Евросоюза от диалога по безопасности
21:45 В НАТО пригрозили России «высокой ценой» при эскалации на Украине
21:00 Раскрыта связь между трусами и возрастом женщины
20:06 Apple призвала срочно обновить iPhone
Больше новостей
СегодняБывший СССР «В местной элите идет борьба» Кто стоял за массовыми протестами в Казахстане и могут ли они захлестнуть всю Среднюю Азию
СегодняЭкономика Центробанк предложил запретить криптовалюты в России. Что будет с биткоинами россиян и причем тут ФСБ?
СегодняМир «Они заплатят за это» Джо Байден пообещал России катастрофу и невиданные санкции в случае военного вторжения на Украину
21:34 В Приднестровье заявили об отсутствии манипуляций с российским газом
21:25 Украина решила участвовать в сертификации «Северного потока-2»
21:06 Государственный департамент США опроверг гарантии о нерасширении НАТО на Восток
СегодняЦенности «Я хотела преподать урок олигарху» Как разводятся богатейшие люди планеты?
СегодняРоссия «Это для нас с мужем стало ударом» Один из тысячи детей рождается с неизлечимой болезнью. Как им помочь в России?
20:37 Возлюбленные поехали отдыхать в Мексику и были жестоко убиты во время отпуска
20:36 Мясников предостерег от посещения больниц во время пандемии
22:17 Несколько десятков мертвых кошек обнаружили на частном участке в Подмосковье
СегодняКультура Сначала было тело. В прокате — победившая на фестивале в Венеции драма про подпольный аборт. Почему ее стоит смотреть?
Сегодня69-я параллель Во льдах Арктики появится первая за много лет научная платформа. Как она изменит будущее российского Севера?
20:33 Названы затраты на подготовку российских спортсменов к Олимпиаде
21:41 Акции «Обуви России» обвалились
21:37 ООН назвала ожидания от предстоящей встречи Лаврова и Блинкена
Сегодня69-я параллель «Еда закончится, и они захотят вас съесть» Почему белые медведи бегут с Аляски в Россию? Отвечает ученый
СегодняНаука и техника Вот это доставляет. Как технологии изменили жизнь людей всего за один год
21:35 Архивное фото полуголой москвички с младенцем заставило россиян поспорить
21:25 Дочь Трампа пригласили к «добровольному» сотрудничеству со следствием
21:23 Украинская полиция опровергла сообщения о минировании офиса Зеленского
19 января 2022Экономика Неуловимый Чжао. Как бывший работник «Макдоналдса» заработал миллиарды на криптовалюте и стал богатейшим человеком Азии
19 января 2022Россия Где в Москве встретить роботов. Как роботы развлекают взрослых и детей в общественных местах и помогают им
21:17 Центробанк в ближайшее время представит обновленную банкноту 100 рублей
21:13 На Украине захотели построить космодром
21:12 Главный тренер «Динамо» прокомментировал дубль Смолова
СегодняНаука и техника Партнерский материалЧетвертый по алфавиту, но главный по значению. Все, что вам нужно знать о витамине D
19 января 2022Россия «Природа решила поставить нас на место» Чем опасен омикрон-штамм и чего ждать от него России — отвечает генетик
21:11 На Украине назвали санкции США политическим террором
21:10 Тихановская выпустила заявление о референдуме в Белоруссии
21:06 Байден назвал российской угрозой «маленьких человечков в зеленой форме»
19 января 2022Силовые структуры Щедрый гангстер. Как самый дерзкий и успешный грабитель Урала воровал миллионы и помогал сиротам
19 января 2022Спорт «Мне нравится быть секс-символом» Туктамышева — самая яркая фигуристка России. Почему она вновь пропускает Олимпиаду?
20:57 В Молдавии назвали способ выйти из газовых кризисов
20:52 Российский академик ответил на вопрос об окончании пандемии из-за омикрона
20:46 Первый полет российского самолета «Байкал» состоится в январе
19 января 2022Из жизни «Мороз — не самая большая проблема» История семьи из Индии, которая перебралась в Россию и полюбила ее, несмотря на холод
18 января 2022Россия «Ты просто не знаешь, на что они способны» Две медсестры сургутской больницы покончили с собой. Кто виноват в их смерти?
20:34 Курс биткоина вырос после «репрессий» в России
20:31 Никас Сафронов рассказал о вызванных соседством с Бондарчуком неудобствах
20:28 В МВД рассказали о деле задержанного замминистра транспорта России Токарева
18 января 2022Бывший СССР «Это не страшно, это смешно» Зеленский решил устранить главного конкурента. Как дело Порошенко изменит политику Украины?
18 января 2022Наука и техника «Число танков, орудий, трупов — огромно» Как Красной армии удалось прорвать блокаду Ленинграда
20:17 Два бездомных до смерти избили москвича в подъезде жилого дома
20:12 Пожизненно осужденный россиянин сознался в совершенной в 1998 году серии убийств
20:10 ВГТРК оштрафовали из-за БДСМ-сессии в эфире программы «60 минут»
18 января 2022Культура Биба и Боба. «Звездные войны» превратили в криминальный боевик. Что из этого получилось?
18 января 2022Россия «Боль такая, что невозможно вздохнуть» Свету спасет срочная операция. Ей нужна ваша помощь
20:05 Девушка потратила пять миллионов рублей ради внешности Барби
20:00 Мужчина на 67 лет отказался от мытья из-за страха быть убитым
19:56 Байден рассказал о последствиях эскалации конфликта на Украине
17 января 2022Россия «У тебя это как будто на лбу написано» Истории россиян, которые живут с психическими расстройствами
17 января 2022Путешествия «На рынках покупают и рыбу, и женщин» Россиянин провел отпуск в Мексике. Чем его удивила латиноамериканская страна?
19:54 «Челси» попытался выкупить собственного футболиста из аренды и потерпел неудачу
19:53 Стало известно об искалечивших полсотни пациентов врачах в роддоме на Кавказе
19:48 Законодатели США назвали республики Донбасса террористическими организациями
СегодняЭкономика Партнерский материалСбер в помощь. Банк поможет клиентам работать в поле 115-ФЗ
19:48 В США представили проект новых санкций против России
19:46 Литва решила снести Дом Москвы
19:44 Врач назвал способы борьбы с опасным последствием коронавируса
19:43 Идрак Мирзализаде продал на аукционе аннулированный российский вид на жительство
19:40 Врач ознакомился с историей болезней Ленина
19:38 Toyota остановила работу на ключевом заводе
19:38 Эрдоган предложил организовать встречу Путина и Зеленского «с глазу на глаз»
19:36 У подмосковного полицейского нашли весы и наркотики
19:34 Украинский Bayraktar заметили над Черным морем
19:33 Для съемок фильма Тома Круза в космосе построят первую киностудию и спортзал
19:31 19-летняя летчица в одиночку облетела земной шар и установила мировой рекорд
19:23 Названы имена владельцев самых дорогих квартир в Москве
19:17 Брошенная женихом за два дня до свадьбы женщина вышла замуж за кинжал
19:13 ООН осудила отрицание холокоста
19:12 Российский фондовый рынок закрылся ростом
19:07 Иммунолог назвал наиболее защищенную от омикрона категорию россиян
19:06 Секс физрука и российской школьницы в машине заинтересовал следователей
19:01 Кофе связали с низким риском развития рака матки
19:01 Модель рассказала о пристрастиях основателя Playboy и оргиях в его особняке
18:59 Замглавы депздрава Ивановской области арестовали за мошенничество
18:57 Арендаторы украли ванну и поселили тараканов в квартире россиянки
18:57 В Киеве осудили политическое преследование Порошенко
18:56 В столичном СИЗО найден повешенным подследственный из Узбекистана
18:53 Вассерман высказался об оголяющихся на фоне храмов и мечетей блогерах
18:52 ФСБ рассказала о поимке фигурантов дела о «посольском кокаине»
18:51 Вагнер Лав перешел в новый клуб
18:41 От взрывов в Колумбии погибли три человека
18:40 «Росатом» подписал соглашение о поставке энергии на месторождение в Якутии
18:36 Путин присвоил главе «Газпрома» звание Героя труда
18:29 Итальянский принц решил засудить любовницу из Белоруссии за вымогательство денег
18:26 «Молдовагаз» рассчиталась за газ после предупреждения «Газпрома»
18:25 Назначена дата референдума по новой конституции Белоруссии
18:25 Россиянин после убийства расчленил свою мать и вынес останки в мусор
18:23 Смолов оформил дубль за «Динамо» в первом матче после возвращения
18:20 Капитан ФСБ зарегистрировал в своей московской квартире сотни людей
18:18 Названа минимальная стоимость аренды жилья в Москве