|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Логарифмическая функция | Логарифмическая функция (далее Л), функция, обратная к показательной функции. Л обозначается
y = lnx; (1)
ее значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
х = еу (2)
(е — неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л определена только при х > 0. В более общем смысле Л называют функцию
y = logaX,
где а > 0 (а ¹ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:
logax = MInX,
где М = 1/ а. Л — одна из основных элементарных функций; ее график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л удовлетворяет функциональному уравнению
x+lny = lnxy.
Для - 1 < х , 1 справедливо разложение Л в степенной ряд:
ln(1 + x) = x 
Многие интегралы выражаются через Л; например
 ,
 .
Л постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л, рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда  .
Л на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определенной при всех значениях аргумента z ¹ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
z = ½z½+ i arg z,
где arg z — аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л Имеем
Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...
Все значения Л для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
 .
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
