Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Линейное преобразование

Линейное преобразование (далее Л)переменных x1, x2, ..., xn — замена этих переменных на новые x"1, x`2, ..., x"n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

  x1 = a11x`1 + a12x`2 + ... + annx`n + b1,

  x2 = a21x`1 + a22x`2 + ... + a2nx`n + b2,

  ...

  xn = an1x`1 + an2x`2 + ... + annx`n + bn,

  здесь aij и bi (i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Линейное преобразование переменных называют однородным.

  Простейшим примером Линейное преобразование переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

  х = x" cos a - y" sin a + a,

  у = x" sin a + y" cos a + b.

  Если определитель D = ½aij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"1, x"2, ..., x"n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

   

  и

  x` =x cos a + ysin a + a1

  y` = -x sin a + cos a + b1

  где a1 = - a cos a - b sin a, b2 = a sin a - b cos (. Другими примерами Линейное преобразование переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

  Линейное преобразование векторов (или Линейное преобразование векторного пространства) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:

  x`1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn

  x`2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn

  ...

  x`n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn,

  или коротко

  x" = Ax.

  Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Линейное преобразование трехмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример Линейное преобразование плоскости — поворот ее на угол a вокруг начала координат. Матрицу

  ,

  составленную из коэффициентов Линейное преобразование А, называют его матрицей. Матрицами приведенных выше Линейное преобразование проектирования и поворота будут соответственно

   и .

  Линейное преобразование векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Ax называют Линейное преобразование, если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Линейное преобразование будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

  К Линейное преобразование относится, в частности, нулевое Линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

  Для Линейное преобразование векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Линейное преобразование А и В называют Линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Линейное преобразование А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

  В силу этих определений совокупность всех Линейное преобразование векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Линейное преобразование равна сумме (произведению) матриц Линейное преобразование слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если Линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над Линейное преобразование: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трехмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Линейное преобразование Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

  Линейное преобразование В называют обратным к Линейное преобразование А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то Линейное преобразование А-1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие Линейное преобразование характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Линейное преобразование заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трехмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Линейное преобразование Ортогональные Линейное преобразование не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Линейное преобразование в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на ее транспонированную дает единичную матрицу: åkaikajk = åkakiakj = 0 при i ¹ j, åka2ik = åka2ki = 1 (в комплексном пространстве åkaikjk = åkakikj = 0, åk|ajk|2 = åk|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряженным, — в комплексном пространстве) Линейное преобразование называют такое Линейное преобразование, матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = ij). Симметрические Линейное преобразование осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Линейное преобразование связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

  Приведенное выше определение Линейное преобразование в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.

 

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. ., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 25.06.2022 23:45:22