Большая Советская Энциклопедия (цитаты)

Квадратичная форма

Квадратичная форма (далее К) форма 2-й степени от n переменных x1, x2,..., xn, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член которого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К при n = 2:

,

при n = 3:

,

где a, b,..., f - какие-либо числа. Произвольная К записывается так:

;

причем считают, что aij = aji. К от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесенных к центру, имеет вид А (х) = 1, т. е. его левая часть является К; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является К При замене переменных x1, x2,..., xn др. переменными y1, y2,..., yn, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К переходит в другую К Путем соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К к виду суммы квадратов переменных, умноженных на некоторые числа. При этом ни число квадратов (ранг К), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К) не зависят от способа приведения К к сумме квадратов (закон инерции). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.

  При рассмотрении комплексных переменных изучаются К вида



где  - число, комплексно сопряженное с xj. Если, кроме того, такая К принимает только действительные значения (это будет, когда (), то ее называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.

  Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970.


Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска


Новости 18.08.2022 07:59:13