|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
Знаки математические | Знаки математические (далее З) условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок. Например,
(квадратный корень из двух), 3 > 2 (три больше двух) и т.п.
Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми З были знаки для изображения чисел - цифры, возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации - вавилонская и египетская - появились еще за 31/2 тысячелетия до н. э.
Первые З для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объемы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин - в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами - начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.
Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х) и ее степени следующими знаками:
( - от греческого термина dunamiV (dynamis - сила), обозначавшего квадрат неизвестной, - от греческого cuboV (k_ybos) - куб). Справа от неизвестной или ее степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х5 изображалось
(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i (от греческого isoV (isos) - равный). Например, уравнение
(x3 + 8x) - (5x2 + 1) = х
у Диофанта записалось бы так:
(здесь
означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).
Несколько веков спустя ввели различные З для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение
3х2 + 10x - 8 = x2 + 1
в записи Брахмагупты (7 в.) имело бы вид:
йа ва 3 йа 10 ру 8
йа ва 1 йа 0 ру 1
(йа - от йават - тават - неизвестное, ва - от варга - квадратное число, ру - от рупа - монета рупия - свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).
Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются З для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания
(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Еще в 17 в. можно насчитать около десятка З для действия умножения.
Различны были и З неизвестной и ее степеней. В 16 - начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се (от census - латинский термин, служивший переводом греческого dunamiV, Q (от quadratum), , A (2), , Aii, aa, a2 и др. Так, уравнение
x3 + 5x = 12
имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:
у немецкого математика М. Штифеля (1544):
у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):
французского математика Ф. Виета (1591):
у английского математика Т. Гарриота (1631):
В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.
Значительным шагом вперед в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) З для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Например, запись Виета
(cubus - куб, planus - плоский, т. е. В - двумерная величина; solidus - телесный (трехмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны) в наших символах выглядит так:
x3 + 3bx = d.
Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z, а произвольные данные величины - начальными буквами а, b, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.
Дальнейшее развитие З было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты возникновения некоторых математических знаков знак | значение | Кто ввел | Когда введен | Знаки индивидуальных объектов< | ¥ | бесконечность | Дж. Валлис | 1655 | e | основание натуральных логарифмов | Л. Эйлер | 1736 | p | отношение длины окружности к диаметру | У. Джонс
Л. Эйлер | 1706
1736 | i | корень квадратный из -1 | Л. Эйлер | 1777 (в печати 1794) | i j k | единичные векторы, орты | У. Гамильтон | 1853 | П (а) | угол параллельности | Н.И. Лобачевский | 1835 | Знаки переменных объектов< | x,y, z | неизвестные или переменные величины | Р. Декарт | 1637 | r | вектор | О. Коши | 1853 | Знаки индивидуальных операций< | + | сложение | немецкие математики | Конец 15 в. | - | вычитание | ´ | умножение | У. Оутред | 1631 | × | умножение | Г. Лейбниц | 1698 | : | деление | Г. Лейбниц | 1684 | a2, a3,:, an | степени | Р. Декарт | 1637 |
| И. Ньютон | 1676 |
| корни | К. Рудольф | 1525 | А. Жирар | 1629 | Log | логарифм | И. Кеплер | 1624 | log | Б. Кавальери | 1632 | sin | синус | Л. Эйлер | 1748 | cos | косинус | tg | тангенс | Л. Эйлер | 1753 | arc.sin | арксинус | Ж. Лагранж | 1772 | Sh | гиперболический синус | В. Риккати | 1757 | Ch | гиперболический косинус | dx, ddx, : | дифференциал | Г. Лейбниц | 1675 (в печати 1684) | d2x, d3x,: |
| интеграл | Г. Лейбниц | 1675 (в печати 1686) |
| производная | Г. Лейбниц | 1675 | ¦¢x | производная | Ж. Лагранж | 1770, 1779 | y` | ¦¢(x) | Dx | разность | Л. Эйлер | 1755 |
| частная производная | А. Лежандр | 1786 |
| определенный интеграл | Ж. Фурье | 1819-22 |
| сумма | Л. Эйлер | 1755 | П | произведение | К. Гаусс | 1812 | ! | факториал | К. Крамп | 1808 | |x| | модуль | К. Вейерштрасс | 1841 | lim |
предел | У. Гамильтон,
многие математики | 1853,
начало 20 в. | lim | n = ¥ | lim | n R ¥ | x | дзета-функция | Б. Риман | 1857 | Г | гамма-функция | А. Лежандр | 1808 | В | бета-функция | Ж. Бине | 1839 | D | дельта (оператор Лапласа) | Р. Мерфи | 1833 | Ñ | набла (оператор Гамильтона) | У. Гамильтон | 1853 | Знаки переменных операций< | jx | функция | И. Бернули | 1718 | f (x) | Л. Эйлер | 1734 | Знаки индивидуальных отношений< | = | равенство | Р. Рекорд | 1557 | > | больше | Т. Гарриот | 1631 | < | меньше | º | сравнимость | К. Гаусс | 1801 | || | параллельность | У. Оутред | 1677 | ^ | перпендикулярность | П. Эригон | 1634 | И. Ньютон в своем методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввел знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде
и для бесконечно малого приращения o. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности ¥.
Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне З дифференциалов
dx, d 2x, d 3x
и интеграла
Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру. Он ввел (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f (x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), p (вероятно, от греческого perijereia (periphereia) - окружность, периферия, 1736), мнимой единицы
(от французского imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс, 1841), вектора (О. Коши, 1853), определителя
(А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.
Наряду с указанным процессом стандартизации З в современной литературе весьма часто можно встретить З, используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения математической логики, среди З можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трем основным группам З примыкает четвертая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.
Знаки каждой из трех групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определенных объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "неременных", или "неизвестных", объектов, операций и отношений.
Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):
A1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и p; мнимой единицы i.
Б1) Знаки арифметических действий +, -, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования
знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.
1) Знаки равенства и неравенства =, >, <, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определенного класса или объекты, операции и отношения, подчиненные каким-либо заранее оговоренным условиям. Например, при записи тождества (a + b)(a - b) = a2 - b2 буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у = х2 буквы х и у - произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения
x2 - 1 = 0
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаем, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и -1).
С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения" переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже "пустой" (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:
A2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения f, , j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, например, произвольный оператор вида:
Обозначения для "переменных отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.
Лит.: Cajori ., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
|
|
|
|
|
Новости 03.11.2024 19:10:47
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|