|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Матричные игры | Матричные игры (далее М), понятие игр теории. М — игры, в которых участвуют два игрока ( и ) с противоположными интересами, причем каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок имеет m стратегий, а игрок — n стратегий, то игра может быть задана (m ´ n)-maтрицей А = ||aij||, где aij есть выигрыш игрока , если он выберет стратегию i (i = -1, ..., m), а игрок — стратегию j (j = 1, ..., n). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются М), игрок стремится выбрать такую стратегию i0, на которой достигается
 ;
игрок стремится выбрать стратегию jo, на которой достигается
 ;
Если u1 = u2, то пара (i0, j0) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство
 ; i = 1, …, m; j = 1, …, n.
Число  называется значением игры; стратегии i0, j0 называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков и соответственно. Если u1 ¹ u2, то всегда u1 < u2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.
Основная теорема теории М (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой М существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на которых достигаемые "минимаксы" равны (общее их значение есть значение игры). Например, игра с матрицей  имеет седловую точку при i0 = 2, j0 = 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей  не имеет седловой точки. Для нее оптимальные смешанные стратегии суть х* = (3/4, 1/4), y* = (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.
Для фактического нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М к задачам линейного программирования. Можно использовать так называемый итеративный метод Брауна — Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном "разыгрывании" данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.
М могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают "природу", под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).
Лит.: М. (Сборник переводов), под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.
А. А. Корбут. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 31.10.2025 16:05:00
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
