|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Бесконечно удаленные элементы | Бесконечно удаленные элементы (далее Б) в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).
Происхождение термина "Б" легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а" (рис., 1) и прямую b, пересекающую их соответственно в точках М и М". Будем поворачивать прямую b вокруг точки М" в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а". Очевидно, по мере приближения прямой b к a" точка М пересечения прямых a и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: "параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке".
Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости a. Для этой цели плоскость a пополняется бесконечно удаленными точками и одной бесконечно удаленной прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удаленной точке. Тогда прямая а", параллельная прямой а (рис., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удаленную точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удаленную точку А, а бесконечно удаленные точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удаленных точек. Совокупность всех этих бесконечно удаленных точек плоскости се называют бесконечно удаленной прямой.
Плоскость a, пополненная т. о. бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость. Ее свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).
Евклидову плоскость можно пополнять Б и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удаленной точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.
Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.
Э. Г. Позняк.
|
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
