|
|
Большая Советская Энциклопедия (цитаты)
|
|
|
|
|
Идеал (алгебраич. понятие) | Идеал (далее И) (математический), одно из основных алгебраических понятий. Возникнув первоначально в связи с изучением алгебраических иррациональных чисел, И (алгебраич. понятие) нашли впоследствии многочисленные применения в других отделах математики.
Известно, что всякое целое (рациональное) число можно разложить в произведение простых множителей; например, 60 = 2 · 2 · 3 · 5, причем разложение единственно с точностью до порядка и знака множителей:
В 19 в. математики столкнулись с необходимостью разлагать на множители числа более общей природы. Если, например, рассматривать числа вида
где m и n - любые целые (рациональные) числа, то так же, как и для обычных целых чисел, здесь каждое число всегда можно разложить в произведение далее неразложимых множителей. Однако в этом случае нарушается единственность разложения. Так, число 9 (которое получается, если считать m = 9, n = 0) допускает здесь два различных разложения:
причем ни один из множителей
дальше разложить в произведение чисел вида
нельзя. Нарушения привычных законов единственности разложения не будет, если свойство делимости связывать не с числами, а с И (алгебраич. понятие) В современной алгебре И (алгебраич. понятие) вводятся в произвольных кольцах. В случае числовых колец (таковым является, например, рассмотренная выше совокупность чисел вида
И (алгебраич. понятие) называются также идеальными числами. И (алгебраич. понятие) - это совокупность чисел, принадлежащих данному числовому кольцу (а в случае произвольного кольца - совокупность его элементов), обладающая следующими свойствами: 1) сумма и разность двух чисел (элементов) совокупности принадлежит этой совокупности; 2) произведение числа (элемента) из этой совокупности на любое другое число (на любой другой элемент) кольца также принадлежит этой совокупности. Затем рассматривают вместо чисел соответствующие им И (алгебраич. понятие); так, например, числу 9 соответствует И (алгебраич. понятие) p = (9), состоящий из всех чисел, делящихся на 9.
Числовые понятия, связанные с делимостью чисел, переносятся на И (алгебраич. понятие): один И (алгебраич. понятие) делится на другой, если любой элемент первого лежит также и во втором (для чисел это эквивалентно тому, что любое число первого И (алгебраич. понятие) делится хотя бы на одно число второго); произведение И (алгебраич. понятие) определяется как наименьший И (алгебраич. понятие), содержащий всевозможные попарные произведения элементов из обоих идеалов-множителей; наибольший общий делитель двух И (алгебраич. понятие) - наименьший И (алгебраич. понятие), содержащий элементы как первого, так и второго И (алгебраич. понятие), и др. В совокупности целых чисел любой И (алгебраич. понятие) состоит из кратных какого-либо фиксированного числа: любой И (алгебраич. понятие) является главным. В общем случае, уже для алгебраических иррациональных чисел, не всякий И (алгебраич. понятие) является главным. Делимость на главный И (алгебраич. понятие) эквивалентна делимости на соответствующее этому И (алгебраич. понятие) число. Благодаря наличию не главных И (алгебраич. понятие) для целых алгебраических чисел остается справедливой теорема о том, что любой И (алгебраич. понятие) единственным образом разлагается в произведение неразложимых далее И (алгебраич. понятие) Эти неразложимые И (алгебраич. понятие), называются также простыми И (алгебраич. понятие), выполняют роль простых чисел и характеризуются тем, что обязательно содержат хотя бы один из множителей, если они содержат их произведение. Так, в рассмотренном выше примере
(3) = p1 p2,
где
и
- новые И (алгебраич. понятие), например И (алгебраич. понятие) p1, являющийся наибольшим общим делителем И (алгебраич. понятие)
состоит из всех чисел вида
где k и l - любые целые рациональные числа.
Понятие "И (алгебраич. понятие)" (или в первоначальной терминологии "идеального числа") было введено в 1847 для одного частного случая числовых полей немецким математиком Э. Куммером. Строгое и полное обоснование теории И (алгебраич. понятие) для любых числовых полей дали независимо друг от друга немецкий математик Р. Дедекинд в 1871 и русский математик Е. И (алгебраич. понятие) в 1877. Новое содержание теория И (алгебраич. понятие) получила в середине 20 в. в связи с развитием общей теории колец.
Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1-2, М.-Л., 1947. |
Для поиска, наберите искомое слово (или его часть) в поле поиска
|
|
 |
 |
 |
|
|
|
Новости 31.10.2025 15:27:55
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
